やりとりを繰り返すだけで貧富の差が生まれる？ ~「データの見えざる手」の分布~ part3

 part2 の続き

さて、では、

$$Z(N,L) = \sum_{n_1 =0}^N \sum_{n_2=0}^N ... \sum_{n_L=0}^N \delta_{N,\sum_{l=1}^Ln_l}$$

を計算してみよう。

 そのために、という式が、空間的に考えるとどんな図形になっているのかを考えよう。

 すぐにはわからないので、L=2の場合を考える。

すると、これは

$$N=n_1 + n_2$$

を満たす場合の数なので、

下の図みたいに、の二次元で見た時に、(N,0)から(0,N)までを結ぶ直線上の格子点の数に一致する。

当然この場合はN+1通りである。

じゃあ、L=3の場合はどうなんだろうか？

  こっちも図にしてみると、(N,0,0)、(0,N,0)、(0,0,N)の三点を結んで出来る正三角形上の格子点の数を数えることと同じだ。

さて、これで少しわかって来たぞ。

$$Z(N,L) = \sum_{n_1 =0}^N \sum_{n_2=0}^N ... \sum_{n_L=0}^N \delta_{N,\sum_{l=1}^Ln_l}$$

これは、L次元空間での、(N,0,0,...)、(0,N,0,....)、......、（...0,0,N）というような各軸上の原点からNの距離にある点を結んだ超平面に沿って、点を数えていくことに相当している。

・・・

・・・ここからどうしようか？？  

一工夫が必要だ。

今回の計算では、Nが大きい場合を想定している。

Nが十分大きければ、図の格子点の数はこの超平面の面積とほとんど一致してしまうはずである。

そこで、ここは思い切って、和を積分で置き換えてしまおう。

さて、そうすると、

$$Z(N,L) \sim  \int_0^Ndn_1\int_0^Ndn_2 \cdots \int_0^Ndn_L \delta(N - \sum_{l=1}^Ln_l)$$

と表せる。

ここで、 というのは、デルタ関数と呼ばれるもので、の時のみ無限の値を持ち、それ意外が0、そして積分すると1になるという特殊な関数だ。（厳密には関数ではなく超関数だ。）

このデルタ関数を使えば、ジグザグに和を取っていく計算を、なめらかな関数の積分として表現しなおすことが出来る。 （もちろん、厳密には和の計算と積分の計算の答えは異なる。しかし、の場合には結果は変わらないだろう。ちゃんと証明してないけど。）

さて、では面積をどうやってもとめようか。

（実はここで、どうやってこれを求めれば良いかわからなくて、3日ほど費やした。きっと数学出来る人なら一瞬でやり方を思いつくのであろう・・・。）

超平面の面積は、超体積を微分すれば求まる 

この超平面の面積を直接求めるのは大変だ。

しかし、実はこの超平面と軸が囲う超体積ならば簡単に求めることが出来る。

そして、面積はこの超体積を微分すれば求まるはずだ。

まずはL=2の場合でみてみよう。（この場合、超体積は面積、超平面の面積は線分の長さになる。）

この図の真ん中の直角二等辺三角形の面積は当然で、緑の線分の長さS(N)はとなる。

この緑の線分に並行な線分をT方向に積分しても、面積は求めることが出来る。

緑の線分の長さをTで表して、S(T)とおく。緑の線の中心の座標はなので、Tの長さはとなっているので、

$$\int^{\frac{N}{\sqrt{2}}}_0 S(T) dt = \frac{N^2}{2}$$

と書ける。 変数変換して、tをで表すと、となるので、書き直すと、

$$\int^{N}_0 \frac{1}{\sqrt{2}} S(n_1) dn_1 = \frac{N^2}{2}$$

両辺をで微分すると、

$$S(N) = \sqrt{2} N$$

となって、ちゃんと答えが出てくる。

これを高次元に一般化すると、内部の超体積を求めて、原点から超平面までの距離で微分すれば、超平面の超面積を求める事ができる。

さて、L次元の場合で１辺がNの場合の体積は、

$$V_L(N) = \frac{N^L}{L!}$$

となることが分かっている。

実際、1辺をNとした場合に、2次元と3次元の場合の体積は、

$$V_2(N) = \frac{N^2}{2}$$

$$V_3(N) = \frac{N^3}{6}$$

となる。

の場合と同じように、高次元において、 超平面の中心の座標は (N/L, N/L, N/L, ... N/L) で表される。

なので、TをLとNで表すと、

$$T = \frac{N}{\sqrt{L}}$$

とかける。

そこで、これで変数変換を行うと

と書ける。

を代入してから、両辺Tで微分して左右を入れ替えると、

$$Z(N,L) = \frac{\sqrt{L}N^{L - 1}}{(L - 1)!}$$

となることがわかる。

（あ〜ようやく求まった。）

これで、元の問題に戻れる。

さて、本当に求めたかったのは、なんだったかというと、

「ボールがN個でマス目がLマスの場合に、ボールのやりとりを繰り返すと、

ある一つのマスのボールの確率分布はどうなるのか」ということだった。

NとLが大きい場合にシミュレーションして出てきた仮説は、平均的な玉の数をとして、

$$\rho(n_1) =\frac{1}{n} e^{-\frac{n_1}{n}}$$

という形になりそうだ、というものだった。

そして、厳密な計算の結果、この確率分布は

$$\rho(n_1) = \frac{Z(N - n_1,L - 1)}{Z(N,L)}$$

という式で表せるという所までは示せていた。

ここに、上で導いた、

$$Z(N,L) = \frac{\sqrt{L}N^{L - 1}}{(L - 1)!}$$

を代入すると

（数式を代入して、変形して、式にしたもの。3段かな）

 と言うかたちになる。

ここで、マス目一つ辺りの平均的な玉の数をnとすると、なので、Lを消去すると、

と表される。

さて、ここでNを無限大に飛ばして、

$$\lim_{N \to \infty} (1+\frac{x}{N})^N = e^x$$

を用いると、

$$\rho(n_1) =\frac{1}{n} e^{-\frac{n_1}{n}}$$

と言うかたちになる。

おーー！！まじで導けた！！！

すごい！！！

ボルツマン分布との関係性

さて、ここまででわかった方もいるかもしれないが、実はこれは統計力学に出てくるボルツマン分布と全く同じものになっている。

マス目を分子、玉をエネルギーに見立てれば、この計算は全エネルギー一定の場合のボルツマン分布そのものなのだ。

矢野先生は本の中で、この分布は人間の活動の色々なところに現れる不思議な分布で、U分布と呼んでいた。

ただ、ここまで計算すれば、なんでそんな現象が現れるのかの理解はある程度出来る。

つまり、お金、土地、時間などどんなものでも、やりとりがとても多い場合には、ありうる場合が網羅的に生じる。

その結果として、全ての場合の数を考えた場合に理論的に出てくるU分布（ボルツマン分布）が現れるということだ。

まとめと直感的な説明

全体をまとめると、全体の量が決まったの何か（お金でもエネルギーでも）を、 たくさんのプレイヤー（人だったり分子だったり）がランダムにやりとりすると、たくさん持っているプレイヤーと何も持っていないプレイヤーが必然的に現れる。

そして、たくさん持っているプレイヤーの数は平均的な量（平均資産や平均エネルギー 温度）を係数にして、エクスポネンシャルに減っていくということだった。

なんでこんなことになるかって言うと、答えは簡単で、状況のパターンを網羅的に調べると、みんなが大体同じくらい持っている場合よりも、不平等にもっている場合のパターンの方が圧倒的に多いからだ。

単にそれだけなのだ。

eが現れる理由の直感的な説明はちょっとわからない。なんか自然界の法則がうまいこと出来ているからとしか言いようが無い気がする。

計算では導けるけど、直感的にはわからないものはたくさんある。これもその一つだと思う。

もしくは、わかりやすい説明出来る方がいたら是非教えてほしい。

おしまい